1. 📖 Representación de Números

Representación de Números

Un sistema de numeración es un conjunto de reglas y símbolos utilizados para representar números. Los sistemas de numeración definen cómo se utilizan estos símbolos y las reglas de cálculo para manipular los números.

Características de los Sistemas de Numeración

Base: El número de símbolos únicos que el sistema utiliza. Por ejemplo, la base del sistema decimal es 10, la del binario es 2, la del octal es 8 y la del hexadecimal es 16.
Notación Posicional: El valor de un dígito depende de su posición en el número. Por ejemplo, en el número decimal 345, el dígito 5 representa 5 unidades, 4 representa 40 (4 decenas) y 3 representa 300 (3 centenas).
Símbolos: Los caracteres o dígitos que se utilizan para representar los números. Cada base tiene su propio conjunto de símbolos.

El Sistema Decimal

Dedos de la mano — Imagen de freepik. *Dedos*

El sistema decimal, también conocido como sistema de base 10, es un sistema de numeración que utiliza diez símbolos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Es el sistema de numeración más comúnmente utilizado en la vida cotidiana para contar y realizar operaciones matemáticas.

Fórmula para Definir la Cantidad

La cantidad que representa un número en el sistema decimal se calcula sumando los productos de cada dígito por la potencia de 10 correspondiente a su posición. Por ejemplo, para el número $N = d_{n} d_{n - 1} \dots d_{1} d_{0}$ :

$N = d_{n} \cdot 1 0^{n} + d_{n - 1} \cdot 1 0^{n - 1} + \dots + d_{1} \cdot 1 0^{1} + d_{0} \cdot 1 0^{0}$

donde es el dígito en la posición correspondiente y es el número de posiciones a la izquierda del dígito. Por ejemplo:

1.256 = 1⋅10³ + 2⋅10² + 5⋅10¹ + 6⋅10⁰ = 1⋅1.000 + 2⋅100 + 5⋅10 + 6⋅1

¿Por Qué Utilizamos el Sistema Decimal?

Diez Dedos: Una teoría popular es que los humanos usan el sistema decimal porque tenemos diez dedos en total (diez dedos en las manos), lo que hace natural contar hasta diez y usar grupos de diez para representar cantidades.
Evolución Histórica: Civilizaciones antiguas, como los egipcios y los griegos, utilizaron el sistema decimal debido a su facilidad de uso y su aplicación en el comercio, la contabilidad y la medición.
Simplicidad y Conveniencia: La base 10 es intuitiva y sencilla para realizar operaciones matemáticas básicas, lo que la hace práctica para el uso diario.

Sistema Binario

El sistema binario es un sistema de numeración que utiliza solo dos símbolos: 0 y 1. Es el sistema fundamental utilizado en la informática y en todos los dispositivos digitales debido a su simplicidad y eficacia para representar datos.

¿Por Qué Se Utiliza en Ordenadores?

Simplicidad Electrónica: Los ordenadores y otros dispositivos electrónicos utilizan el sistema binario porque es más fácil y fiable trabajar con dos estados diferentes, que pueden representarse como encendido/apagado, verdadero/falso, o alto/bajo voltaje.
Procesamiento Eficiente: La lógica digital basada en transistores opera de manera más eficiente utilizando dos estados (0 y 1), lo que simplifica el diseño y la fabricación de circuitos electrónicos.

Fórmula para Calcular la Cantidad

La cantidad que representa un número en el sistema binario se calcula sumando los productos de cada dígito por la potencia de 2 correspondiente a su posición. Por ejemplo, para el número $N = b_{n} b_{n - 1} \dots b_{1} b_{0}$ :

$N = b_{n} \cdot 2^{n} + b_{n - 1} \cdot 2^{n - 1} + \dots + b_{1} \cdot 2^{1} + b_{0} \cdot 2^{0}$

donde es el dígito binario (0 o 1) en la posición correspondiente y es el número de posiciones a la izquierda del dígito.

Decimal	Binario
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
10	1010
11	1011
12	1100
13	1101
14	1110
15	1111

Tabla de equivalencias de los 16 primeros números decimales

Sistema Octal

El sistema octal es un sistema de numeración que utiliza ocho símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Es un sistema de base 8.

¿Por Qué Se Utiliza en Ordenadores?

Simplicidad en la Conversión: El sistema octal se utiliza porque facilita la conversión de y hacia el sistema binario. Cada dígito octal representa exactamente tres bits binarios, lo que simplifica la representación y el manejo de grandes secuencias binarias.
Representación de Permisos en UNIX: En sistemas UNIX, el sistema octal se utiliza para representar permisos de archivos y directorios. Los permisos se dividen en tres categorías (lectura, escritura y ejecución) y se agrupan en conjuntos de tres (propietario, grupo y otros), lo que encaja perfectamente en la estructura de tres bits por dígito octal.

Fórmula para Calcular la Cantidad

La cantidad que representa un número en el sistema octal se calcula sumando los productos de cada dígito por la potencia de 8 correspondiente a su posición. Por ejemplo, para el número $N = o_{n} o_{n - 1} \dots o_{1} o_{0}$ :

$N = o_{n} \cdot 8^{n} + o_{n - 1} \cdot 8^{n - 1} + \dots + o_{1} \cdot 8^{1} + o_{0} \cdot 8^{0}$

donde $o$ es el dígito octal (0 a 7) en la posición correspondiente y $n$ es el número de posiciones a la izquierda del dígito.

Decimal	Octal
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	10
9	11
10	12
11	13
12	14
13	15
14	16
15	17

Tabla de equivalencias de los 16 primeros números decimales

Sistema Hexadecimal

El sistema hexadecimal es un sistema de numeración que utiliza dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, y F. Es un sistema de base 16.

¿Por Qué Se Utiliza en Ordenadores?

Compactación y Legibilidad: El sistema hexadecimal es más compacto y legible que el binario. Un dígito hexadecimal representa exactamente cuatro bits (un nibble), lo que simplifica la representación y lectura de largas secuencias binarias.
Eficiencia en el Cálculo: Facilita la conversión y el cálculo en sistemas digitales y es ampliamente utilizado en programación, direcciones de memoria y depuración de software.
Representación de Colores RGB: En diseño web y gráficos, los colores se representan a menudo en formato hexadecimal. Cada componente de color (rojo, verde y azul) se expresa con dos dígitos hexadecimales, proporcionando una forma clara y precisa de especificar colores.

Fórmula para Calcular la Cantidad

La cantidad que representa un número en el sistema hexadecimal se calcula sumando los productos de cada dígito por la potencia de 16 correspondiente a su posición. Por ejemplo, para el número $N = h_{n} h_{n - 1} \dots h_{1} h_{0}$ :

$N = h_{n} \cdot 1 6^{n} + h_{n - 1} \cdot 1 6^{n - 1} + \dots + h_{1} \cdot 1 6^{1} + h_{0} \cdot 1 6^{0}$

donde es el dígito hexadecimal (0 a 9 y A a F) en la posición correspondiente y es el número de posiciones a la izquierda del dígito.

Tabla de los 16 Primeros Números en Hexadecimal

Decimal	Hexadecimal
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10	A
11	B
12	C
13	D
14	E
15	F

Tabla de equivalencias de los 16 primeros números decimales

Tabla Decimal-Binario-Octal-Hexadecimal

Decimal	Binario	Octal	Hexadecimal
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

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